TEST n°1.

ccc

On donne `e(t)=e_0=5 V` et la valeur de `R_V` en régime critique, `R_{Vc}=266 Ω.`

1- La courbe ci-dessous représente l'évolution de `v_C (t)` en fonction du temps pour `R_V=0Ω.`

ccc

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a- Calculer `D,` `ω_0` et `Q.`
b- Calculer `L.`

Réponse

a- Calcul de `D,` de `ω_0` et de `Q.`

ccc

## D=\dfrac1{n_2} Ln\left(\dfrac{ΔV_{C1}}{ΔV_{C2}}\right) \implies ##

## D=\dfrac12 Ln\left(\dfrac{4,0}{1,7}\right) \implies ##

## D=0,428 \implies ##

## D=0,43 ##

## 2T_a=0,71 ms\implies T_a=0,355 10^{-3}s ##

## ω_0=\dfrac{\sqrt{4π^2+D^2}}{T_a } \implies ##

## ω_0=\dfrac{\sqrt{4π^2+0,428^2}}{0,355\times 10^{-3}} \implies ##

## ω_0=17740 rd/s \implies ##

## ω_0=18 \times 10^3rd/s ##

## δ=\dfrac{D}{T_a} \implies ##

## δ=\dfrac{0,428}{0,355 \times10^{-3}} \implies ##

## δ=1206 s^{-1} \implies ##

## δ=1,2 \times10^{3} s^{-1} ##

Le rapport, ## \dfrac{δ}{ω_0}=\dfrac{1206}{17740}≅0,07 ##

, montre que `δ` n'est pas très petit devant `ω_0.`

Dans ce cas, on utilise la formule exacte au lieu de la formule approchée sinon l'erreur sera importante :

## Q=2π \dfrac1{1-e^{-2δT_a}} \implies ##

## Q=2π \dfrac1{1-e^{-2\times1206\times0,355\times10^{-3}}} \implies ##

## Q=11 ##

b- Calcul de `L.`

## δ=\dfrac{R_T}{2L} \implies ##

## δ=\dfrac{R_V+R}{2L} \implies ##

comme ## R_V=0 Ω \implies δ=\dfrac{R}{2L} ##

Comme on connait la valeur de `R_{Vc}=266 Ω,` on utilise la relation établie en régime apériodique critique :

## δ_c=ω_0 \implies \dfrac{R_{Tc}}{2L}=ω_0 \implies ##

## \dfrac{R_{Vc}+R}{2L}=ω_0 \implies ##

## \dfrac{R_{Vc}}{2L}+\dfrac{R}{2L}=ω_0 \implies ##

Compte tenu de la relation obtenue précédemment ` δ=\frac{R}{2L},` l'expression précédente s'écrit

## \dfrac{R_{Vc}}{2L}+δ=ω_0 \implies ##

## L=\dfrac{R_{Vc}}{2(ω_0-δ)} \implies ##

## L=\dfrac{266}{2(17740-1206)} \implies ##

## L=8,04 mH \implies ##

## L=8,0 mH ##

2- Pour `R_V=50Ω` le `δ=875 s^{-1}`
a- Calculer `L` et `R.`
b- Comparer les deux valeurs de `L` obtenues en 1a et en 2a. Laquelle de ces deux valeurs est la plus précise ?
c- Calculer `C.`

Réponse

Dans les calculs suivants, on n'utilisera pas la valeur de `R_{Vc}.`

a- Calcul de `L` et de `R.`

`1^{ier}` cas `R_{V1}=0 \Omega` :
## ω_0=17740 rd/s ## et ## δ_1=1206 s^{-1} ##
## δ_1=\dfrac{R}{2L} ##

`2^{ième}` cas ##R_{V2}=50\Omega## :
## δ_2=875 s^{-1} ##

## δ_2=\dfrac{R_{V2}+R}{2L} \implies ##

## δ_2=\dfrac{R_{V2}}{2L}+\dfrac{+R}{2L} \implies ##

## δ_2=\dfrac{R_{V2}}{2L}+δ_1 \implies ##

## L=\dfrac{R_{V2}}{2(δ_2-δ_1)} \implies ##

## L=\dfrac{50}{2\times(4375-1206)} \implies ##

## L=7,89 mH \implies ##

## L=7,9 mH ##

## δ_1=\dfrac{R}{2L} \implies ##

## R=2δ_1 L \implies ##

## R=2\times1206\times7,9\times10^{-3} \implies ##

## R=19,03 Ω \implies ##

## R=19 Ω ##

b- Comparaison des deux valeurs de `L.`

Aux erreurs d'incertitude près, ## \dfrac{ΔL}{L}=\dfrac{8-7,9)}{8}≅2\% ##, elles sont pratiquement égales.

En pratique la valeur de `R_{Vc}` est approximative, elle est définie dans un intervale ##[R_{Vinf} R_{Vsup}]##. En dehors de cet intervale les régimes sont bien définis, par contre à l'intérieur on ne peut être trachant quant à la nature du régime. En général, le régime critique est défini pour la valeur approximative ##R_V=\dfrac{R_{Vinf}+R_{Vsup}}{2}.## Par conséquent la valeur de `7,9 mH` est plus précise.

c- Calcul de `C.`

## ω_0=\dfrac1{\sqrt{LC}} \implies ##

## C=\dfrac1{ω_0^2L} \implies ##

## C=\dfrac{1}{17740^2\times7,89\times10^{-3}} \implies ##

## C=0,407 μF \implies ##

## C=0,41 μF ##

3- On désire mesurer une inductance `L_i` et une résistance `R_i` toutes deux inconnues.

Pour `R_V=0Ω` on a `D_1=0,18` et `T_{a1}≅0,89ms.`

Pour `R_V=R_i` on a `D_2=0,62` et `T_{a2}≅0,89ms.`

Réponse

Pour `R_V=0Ω` on a `D_1=0,18` et `T_{a1}≅0,89s.`

## ω_0=\dfrac{\sqrt{4π^2+D_1^2}}{T_{a1}} \implies ##

## ω_0=\dfrac{\sqrt{4π^2+0,18^2}}{0,89\times 10^{-3}} \implies ##

## ω_0=7,062 10^3 rd/s ##

## ω_0=\sqrt{\dfrac{1}{L_i C}} \implies ##

## L_i=\dfrac{1}{ω_0^2C} \implies ##

## L_i=\dfrac{1}{7,062 ^2\times 10^6\times0,407\times10^{-6} } \implies ##

## L_i=49,3 mH \implies ##

## L_i=49 mH ##

## δ_1=\dfrac{D_1}{T_{a1}} \implies ##

## δ_1=\dfrac{0,18}{0,89\times 10^{-3}} \implies ##

## δ_1=202 s^{-1} ##

## δ_1=\dfrac{R}{2L_i} \implies ##

## R=2δ_1L_i \implies ##

## R=2\times202 \times49,3\times10^{-3} \implies ##

## R=19,8\Omega \implies ##

## R=20\Omega ##
Pour `R_V=R_i` on a `D_2=0,62` et `T_{a2}≅0,89ms.`

## δ_2=\dfrac{D_2}{T_{a2}} \implies ##

## δ_2=\dfrac{0,62}{0,89\times 10^{-3}} \implies ##

## δ_2=697 s^{-1} ##

## δ_2=\dfrac{R_i}{2L_i}+\dfrac{R}{2L_i} \implies ##

## δ_2=\dfrac{R}{2L_i}+δ_1 \implies ##

## R =2L_i(δ_2-δ_1) \implies ##

## R_i =2\times 49,3\times 10^{-3}(697-202) \implies ##

## R_i =48,8\Omega \implies ##

## R_i =49\Omega ##

Régime Transitoire 1 Degré de Liberté.

TEST n°1.